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　　§9.3 哈希表 什么是哈希表 哈希函数的构造方法 处理冲突的方法 哈希表的查找及分析 哈希函数示例：建立30个地区的人口统计表，用一维数组C(1:30)存放此表，每条记录以地区名作为关键字。哈希函数可以按如下方法设置 取关键字第一个字母在字母表中的序号作为关键字； 首字母和最后一个字母的序号之和，若大于表长则减去30； 每个汉字首字母的ASCII码之和的八进制形式，看作十进制数除以30取余数，若余数为零则加上30。 作业： 选取哈希函数H(k)=(3k)mod11。用开放定址法处理冲突，di＝i ( (7k)mod10 + 1) (i=1,2,3,…)。试在0～10的散列地址空间中对关键字序列（22，41，53，46，30，13，01，67）构造哈希表，并求等概率情况下查找成功时的ASL。 注意：1. 发生冲突时，如何确定新的地址； 2. ASL的计算。 * * * 9.3.1 什么是哈希表 前面我们学习了各种数据结构上的查找方法，查找过程需要进行一系列的关键字比较，查找效率依赖于比较的次数； 最理想的查找：不经过任何比较，给定一个关键字，直接就找到对应数据元素的存储位置。 要实现这一点，就必须建立数据元素的存储位置和它的关键字之间的对应关系f，使每个关键字k和结构中一个惟一的存储位置f(k)对应。这个对应关系 f 称为哈希(Hash)函数，按这个思想建立的表为哈希表。 f3(key) f2(key) f1(key) SICHUAN HENAN SHANDONG SHANGHAI SHANXI HEBEI TIANJIN BEIJING key 2 20 8 19 19 19 8 19 9 4 17 28 28 26 22 3 4 26 2 13 23 17 16 16 从这个例子可见： 哈希(Hash)函数是一个映象，即将关键字的集合映射到某个地址集合上， 只要哈希函数值不超出表长允许范围即可; 由于哈希函数是一个压缩映象，对不同关键字可能得到同一哈希地址，即key1?key2，而f(key1)=f(key2) ，这种现象称冲突。具有相同函数值的关键字对该哈希函数来说称做同义词。 冲突只能尽可能减少，而不能完全避免。因此，在建造哈希表时不仅要设定一个好的哈希函数，还要设定一种处理冲突的方法。 综上所述，可如下描述哈希表： 根据设定的哈希函数 H(key) 和处理冲突的方法，将一组关键字映像到一个有限的连续的地址集 (区间) 上，并以关键字在地址集中的“像”作为相应记录在表中的存储位置，这种表便称为哈希表。 这一映像过程称为哈希造表或散列，所得存储位置称哈希地址或散列地址。 常用的构造哈希函数的方法: 若是非数字关键字，则需先对其进行数字化处理。 1. 直接定址法 3. 平方取中法 5. 除留余数法 4. 折叠法 6. 随机数法 2. 数字分析法 9.3.2 哈希函数的构造方法 哈希函数为关键字的线性函数 H(key) = key 或者 H(key) = a ? key + b 1. 直接定址法 例：统计解放后出生的人口数量，以年份作为关键字，选取哈希函数为Hash(key)=key－1948，则存储结构（哈希表）如下： 0 1 2 3 … 40 … … 1998 … 1951 1950 1949 优点：以关键字的线性函数值为哈希地址，不会产生冲突. 缺点：实际中能使用这种哈希函数的情况很少。 此方法仅适合于： 预先知道关键字每一位的数字分布状况。 2. 数字分析法 3 4 7 0 5 2 4 3 4 9 1 4 8 7 3 4 8 2 6 9 6 3 4 8 5 2 7 0 3 4 8 6 3 0 5 3 4 9 8 0 5 8 3 4 7 9 6 7 1 3 4 7 3 9 1 9 例：有一组（例如80个）关键字，其样式如下： 位号：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 假设关键字集合中的每个关键字都是由 s 位数字组成 (u1, u2, …, us)，分析关键字集中的全体， 从中提取分布均匀的若干位并利用它们的组合作为地址。 取关键字平方后的中间若干位作为哈希地址。 理由：因为一个数平方后的中间几位数与数的每一位都相关。 3. 平方取中法 例：某记录关键字为2589，其平方值为6702921，可以取中间的029为地址。 4. 折叠法 将关键字分割成位数相同的几部分（最后一部分位数可以短些），然后取这几部分的叠加和（舍去最高进位）作为哈希地址，这种方法称为折叠法。 移位叠加：将分割后每一部分的最低位对齐相加。 间界叠加：从一端向另一端沿分割界来回折叠，然后对齐相加。 例：图书编号ISBN是一个十位的十进制数，以它作为关键字构造哈希表，馆藏种类不到10000时，计算图书0-442-20586-4的哈希地址。 特点：使用于关键字位数很多，且每一位上数字分布大致均匀的情况。 5. 除留余数法 取关键字被某个不大于表长m的数p除后所得余数为哈希地址，即 H(key) = key MOD p 其中， p≤m (表长) 并且 p 应为素数或是含20 以下的质因子 特点： 最简单、最常用的构造哈希函数的方法。不仅可以直接对关键字取模，也可以在折叠、平方取中运算后取模； 对p的选择很重要，否则容易产生同义词。 给定一组关键字为: 12, 39, 18, 24, 33, 21，若取 p=9, 则他们对应的哈希函数值将为: 3, 3, 0, 6, 6, 3 例如： 为什么要对 p 加限制？ 可见，若 p 中含质因子 3, 则所有含质因子 3 的关键字均映射到“3 的倍数”的地址上，从而增加了“冲突”的可能。 6. 随机数法 取关键字的随机函数值为哈希地址，即 H(key) = random(key) 其中，random 为随机函数 特点：当关键字长度不等时用此法构造哈希函数较恰当。 实际造表时，采用何种构造哈希函数的方法取决于建表的关键字集合的情况(包括关键字的范围和形态)，总的原则是使产生冲突的可能性尽可能地小。 “处理冲突” 的实际含义是： 为产生冲突的地址寻找另一个“空”的哈希地址。处理冲突的过程中可能得到一个地址序列Hi,i=1,2,…,k。通常用的处理冲突的方法有下列几种： 1.开放定址法 2.再哈希法 3.链地址法 4.建立一个公共溢出区 9.3.3 处理冲突的方法 Hi = (H(key)+ di) MOD m i=1, 2, …, m-1 其中，H(key)为哈希函数； m为哈希表表长； di为增量序列,有下列3种取法： 1. 开放定址法 1) 线性探测再散列 di = 1, 2, 3, …, m-1 2) 二次探测再散列 di = 12, -12, 22, -22 ,32,…, ±k2(k≤m/2) 3) 伪随机探测再散列 di =伪随机数序列 例如: 关键字集合 { 19, 01, 23, 14, 55, 68, 11, 82, 36 } 设定哈希函数 H(key) = key MOD 11 ( 表长=11 ) 19 01 23 14 55 68 19 01 23 14 68 若采用线性探测再散列处理冲突 若采用二次探测再散列处理冲突 11 82 36 55 11 82 36 1 1 2 1 3 6 2 5 1 Hi=RHi(key) i=1, 2, …，k RHi均是不同的哈希函数，当产生冲突时就计算另一个哈希函数，直到冲突不再发生。 优点：不易产生聚集； 缺点：增加了计算时间。 2. 再哈希法 0 1 2 3 4 5 6 ? 11 ? 19 82 68 ? 55 ? 14 36 ? 01 ? 23 ? ASL=(6×1+2×2+3)/9=13/9 例:已知一组关键字{19,01,23,14,55,68,11, 82,36 }，按哈希函数H(key)=key MOD 7和链地址法处理冲突构造哈希表。 3.链地址法 将所有哈希地址相同的记录存储在同一链表中。 设立一个指针型向量，每个分量的初始状态都为空指针;凡地址为i的记录都插入到头指针为第i个分量的链表中。 思路：除设立哈希基本表外，另设立一个溢出表。 所有关键字和基本表中关键字为同义词的记录，不管它们由哈希函数得到的地址是什么，一旦发生冲突，都填入溢出表。 4. 建立一个公共溢出区 哈希表查找过程：和造表过程基本一致。 对于给定值 K, 根据造表时设定的哈希函数计算哈希地址 i = H(K)； 若表中此位置没有记录，则查找不成功； 否则比较关键字，若和给定K相等则查找成功；否则根据造表时设定的处理冲突的方法找“下一地址”，直至哈希表某个位置为空（查找不成功）或表中所填记录关键字等于给定值时为止（查找成功）。 9.3.4 哈希表的查找及其分析 1) 选用的哈希函数; 2) 选用的处理冲突的方法; 3) 哈希表饱和的程度，装载因子 α=n/m 值的大小 （n—表中填入的记录数，m—HASH表长度） 决定哈希表查找的ASL的因素： 哈希表查找的分析: 从查找过程得知，虽然在关键字和存储位置之间建立了直接映像，但查找过程仍然是一个比较的过程。因此仍需要用ASL度量HASH表的查找效率。 线性探测再散列 链地址法 随机探测再散列、二次探测再散列、再哈希法 可以证明：查找成功时的平均查找长度有下列结果： 从以上结果可见， 哈希表的平均查找长度是?的函数，而不是n的函数。 这说明，用哈希表构造查找表时，可以选择一个适当的装填因子?，使得平均查找长度限定在某个范围内。 —— 这是哈希表特有的性质。

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